Распределение нагрузки в шариковинтовых механизмах.

В машиностроении и приборостроении широко применяют шариковинтовые механизмы, преобразующие с высоким КПД (η>50% вращательное движение в поступательное и наоборот.

Принцип действия таких механизмов состоит в том, что между кинематическими элементами резьбы винта и гайки в винтовые канавки закладываются шарики, цепь которых замыкается с помощью специального перепускного канала (рис. 1).

Шариковинтовой механизм
Рис. 1 — Шариковинтовой механизм:
  1. — ходовой винт;
  2. — гайка;
  3. — перепускной канал;
  4. — шарики

Конструкция отдельных элементов шариковинтового механизма определяется эксплуатационными требованиями. На (рис. 2) показаны профили резьбы винта и гайки (в нормальном сечении винтовой канавки), применяемые в настоящее время в таких механизмах.

Основные профили винта и гайки в нормальном сечении
Рис. 2 — Основные профили винта и гайки в нормальном сечении винтовых канавок (В, Г — точки контакта шарика соответственно с винтом и гайкой; αк — угол контакта)

Шарики обычно изготовляют из стали марок ШХ6, ШХ15 (20ХЗМВФ). В специальных конструкциях в качестве материала шариков используют также стали Х18 и 55СМА.

Диаметр шарика выбирают, как правило, с учетом условий работы механизма или требований к его габаритным размерам.

Для расчета грузоподъемности и долговечности шариковинтового механизма необходимо прежде всего выяснить характер распределения нагрузки между витками.

Основные геометрические параметры резьбы механизма
Рис. 3 — Основные геометрические параметры резьбы механизма

Уравнение совместности деформаций в резьбе

Delta_1-Delta_2=delim{[}{delta_1(z)+delta_2(z)}{]}-delim{[}{delta_1(0)+delta_2(0)}{]},

где Δ1, Δ2 — удлинение и укорочение участков винта и гайки от 0 до z (рис. 4);
δ1(z)+δ2(z) — сумма прогибов витков винта и гайки и контактной деформации в сечении z (в осевом направлении);
δ1(0)+δ2(0) — то же в сечении О (индекс 1 соответствует винту, индекс 2 — гайке).

Расчетная схема шариковинтового механизма типа болт—гайка
Рис. 4 — Расчетная схема шариковинтового механизма типа болт—гайка

Перемещения Δ1 и Δ2 выражаются равенствами.

Величины δi (i=1, 2) можно представить в виде

delta_i=delim{[}{Delta_i p_i/E_i+ nu_i root{3}{{S^2}_{i ш}/d_ш (p_i/E_i)^{2/3}}}{]}cos Psi_i,

где pi — усилие, действующее на единицу длины линии контакта юковой поверхности витков;
Δi и νi — безразмерные коэффициенты;
dш — диаметр шарика;
S — шаг расположения шариков вдоль контактной линии;
Ψi — угол подъема винтовой контактной линии (при расчете на прочность можно считать cos Ψi=1).

Распределенная осевая сила q(z) и усилие, действующее на единицу длины контактных линий, связаны соотношением

p_i pi D_{ik} sin alpha_k cos Psi_i=qP,

где Dik — диаметр цилиндрической поверхности, на которой расположена линия контакта.

Предполагаем, что контактное давление действует нормально к поверхности контакта. Из условия равновесия шарика вытекает, что направление нормали должно быть общим для точек контакта на витках винта и гайки.

Учитывая, что

sigma_i={F(z)}/A_i=1/A_i int{0}{z}{q(z_1)dz_1},

где Ai — площадь поперечного сечения винта или гайки, и используя зависимости, запишем уравнение совместности деформаций в следующей форме:
beta int{0}{z}{int{0}{z_1}{q(z_2)dz_2 dz_1}} =gamma q+gamma_k q^{2/3}-C,

где
beta=sum{i=1}{2}{1/{E_i A_i}};~~~gamma=P/{pi sin alpha_k}sum{}{}{Delta_i/{D_{ik}E_i}};

gamma_k=(P/{pi sin alpha_k})^{2/3}I/{{d^{1/3}}_ш}sum{i=1}{2}{nu_i(S_{i ш}/D_{ik})^{2/3}} I/{E^{2/3}}_i cos Psi^{1/3}_i.

Постоянную С=γq(0)+γkq2/3(0) можно определить из условия

F=int{0}{H}{q(z)dz},

где F — общая осевая сила, действующая на соединение.

Тогда

G=1/H delim{[}{gamma F+gamma_k int{0}{H}{q^{2/3}(z)dz}-beta int{0}{H}{int{0}{z}{int{0}{z_1}{q(z_2)}}} dz_2 dz_1 dz}{]}.

Подставляя выражение в уравнение, запишем последнее в виде интегрального уравнения

Psi (q)=K(q)+q_{c p},

где
Psi (q)=q+gamma_k/gamma q^{2/3};

K(q)=beta/gamma delim{[}{int{0}{z}{int{0}{z_1}{q(z_2)dz_2}}dz_1-1/H int{0}{H}{int{0}{z}{int{0}{z_1}{q(z_2)}}} dz_2 dz_1 dz}{]}+

{+}gamma_k/gamma 1/H int{0}{H}{q^{2/3}(z)}dz;

q_{cp}=F/H.

Для соединения типа стяжки (рис. 5) уравнение имеет вид

beta int{0}{z}{int{0}{z_1}{q(z)}}dz_2 dz_1-F_z/{E_2 A_2}=gamma q+gamma_k q^{2/3}-C.

Расчетная схема риковинтового механизма стяжки
Рис. 5 — Расчетная схема риковинтового механизма стяжки

Используя условие для определения С, получаем уравнение

Psi(q)=K(q)+q_(0),

в котором
q_0=q_{cp}+F/{gamma E_2 A_2}(H/2-z).

Величины Ψ(q) и К(q) определяются приведенными выше равенствами. Отметим, что при Е2А2→∞ характер распределения нагрузки в соединениях типа болт—гайка или типа стяжки одинаков.

При β=0 уравнение имеет элементарное решение:

q=q_{cp}=F/H,

т. е. если болт и гайка не испытывают деформаций растяжения или сжатия, нагрузка между витками распределяется равномерно. В общем случае уравнение можно решить методом последовательных приближений по схеме
Psi(q_{i+1})=K(q_i)+q_{cp},

где qi и qi+1 — исходное и последующее приближения для искомой функции q(z).

Принимаем в первом приближении

q(1)=q_{cp}=F/H;

тогда при втором приближении получаем
Psi(q_(2))=K(q_{cp})+q_{cp}=beta/{2 gamma}*

{*}(z^2 -1/3H^2)q_{cp}+gamma_k/gamma q^{2/3}_{cp}+q_cp.

Обозначая через f(2) правую часть равенства, находим

q_(2)+gamma_k/gamma q^{2/3}_(2)=f_(2).

Это уравнение легко сводится к кубическому, но в практиче ских расчетах его действительный корень более удобно отыскать методом Ньютона.

Примем, опуская индекс 2,

F(q)=q+gamma_k/gamma q^{2/3}-f=0.

Разлагая функцию F(q) вблизи точки q, близкой к предполагаемому значению корня, и сохраняя только первые члены разложения, получаем

F(q)=F(q_prime)+{dF}/{dq}(q_prime)(q-q_prime)=0,

откуда
q=q_prime -{F(q_prime)}/{{dF(q_prime)}/dq}=

{=}q_prime-{q_prime+(gamma_k/gamma)q^{2/3}_prime-f}/{{1+2 gamma_k}/{3 gamma q^{2/3}_prime}}.

В качестве q, можно принять

q_prime=f/{{1+gamma_k}/gamma}.

При необходимости подобным образом уточняется значение корня, но обычно формула дает достаточную точность. Определив значения q(2)(z), можно найти следующее приближение q(3)(z). При вычислении К(q(2)) по формуле целесообразно использовать численное интегрирование по правилу трапеций. Расчет заканчивается при достаточной близости двух соседних приближений.

В большинстве практических задач достаточно ограничиться вторым приближением. Аналогично решается уравнение, где qcp заменяется q0.

Если значение q не очень мало,

q^{2/3} approx a+bq.

Тогда уравнение с учетом равенства принимает вид

q=beta/{gamma+gamma_k b} delim{[}{int{0}{z}{int{0}{z_1}{q(z_2)}} dz_2 dz_1 -1/H int{0}{H}{int{0}{z}{int{0}{z_1}{q(z_2)}}} dz_2 dz_1 dz}{]}+q_cp.

Отметим, что значение а не влияет на распределение нагрузки. Если выбрать коэффициент b таким образом, чтобы аппроксимирующая прямая была касательной при q=qср то
b=2/{3q^{1/3}_{cp}}.

Дифференцируя дважды по z, находим

{d^2q}/{dz^2}-m^2 q(z)=0,

где
m^2=beta/{gamma+gamma_k b}=beta/{{gamma+2gamma_k}/{3q^{1/3}_{cp}}}.

Из последнего уравнения с учетом известных краевых условий для соединения типа болт—гайка получаем закон распределения нагрузки в обычной резьбе

q(z)={Fm}/{sh mH} ch mz,

в котором параметр m зависит от контактной деформации.

Для расчета необходимо знать упругогеометрические параметры β, γ и γk. Так как определение р не вызывает затруднений, расчет сводится к определению Δi и νi, необходимых для вычисления γ и γk.

Представим суммарный прогиб (смещение) витка винта и гайки в виде

delta_i=delta^(1)_i +delta^(2)_i+delta^(3)_i+delta^(k)_i(i=1, ~2,~...),

где δ(j)i(j=1, 2, ...) — прогиб витка в результате деформаций изгиба, сдвига и радиального смещения основания;
δ(k)i — контактное смещение.

Два первых слагаемых обычно малы, и в расчетах резьб шариковинтовых механизмов ими можно пренебречь.

Смещение витков винта в результате радиального смещения основания

{delta_1}^(3)=u_1 ctg alpha_k cos Psi_1=

{=}{p_1 cos alpha_k ctg alpha_k d_1 cos Psi_1}/{2E_1 P}({{d^2}_1+{D^2}_в}/{{d^2}_1-{D^2}_в}-nu_1);

витков гайки
{delta_2}^(3)=u_2 ctg alpha_k cos Psi_2=

{=}{p_2 cos alpha_k ctg alpha_k d_2 cos Psi_2}/{2E_2 P}({{d^2}_2+{D^2}_2}/{{D^2}_2-{d^2}_2}-nu_2).

В этих равенствах: u1, u2 — радиальное смещение основания витка винта и гайки;
ν1, ν2 — коэффициенты Пуассона материала винта и гайки.

В соответствии о равенством

{delta_i}^(3)=Delta_i p_i/E_i cos Psi_i,

что позволяет определить значение Δi (для краткости не записывается).

Сближение в результате контактной деформации (в осевом направлении) можно представить как

{delta_i}^(k)=K_{i delta} sin alpha_k cos Psi root{3}{({1-{nu^2}_i}/E_i +{1-{nu^2}_ш}/E_ш)^2 sum{}{}{rho_i F^2_ш}},

где ∑ρi=2⁄rш—1/Ri=(4Ri—dш)/(Ridш) — сумма главных кривизн (приближенно рассматривается контакт шарика и цилиндрического желоба);
Fш=piS — сила, действующая на шарик;
Еш — модуль упругости материала шарика;
Кib — безразмерный коэффициент, зависящий от параметра
xi_i=d_ш/{4R_i-d_ш}.

Сопоставляя формулы, находим

nu_i=K_{i delta} sin alpha_k root{3}{delim{[}{(1-{nu^2}_i)+E_i/E_ш (1-{nu^2}_ш)}{]}({4R_i-d_ш}/R_i)}.

Максимальное контактное напряжение

sigma_{i max}=K_{i sigma} root{3}{delim{[}{sum{}{}{rho_i}/{(1-{nu^2}_i)/E_i+(1-{nu^2}_ш)/E_ш}}{]}^2 F_ш}~~(i=1,~2,~...),

где K — безразмерный коэффициент, зависящий от параметра ξ.

Значения коэффициентов К, и К даны в табл.






Навигация
Болты
Винты, шпильки, штифты, прокладки
Пружины
Заклепки
Шпонки
Гайки
Резьба
Валы
Муфты
Подшипники
Виды соединений
Передачи
Материал
Дополнительные материалы
Госты метизов
Сварка
Мы в соцсетях
podshipniki.moscow применяемость подшипников
Сортовой металлопрокат: str-steel.ru в Москве с доставкой.