Основные уравнения распределение нагрузки и напряжений в резьбовых соединениях.

Общие замечания и постановка задачи. Для проектирования и оценки прочности резьбовых соединений необходимо знать распределение напряжений в сечениях болта и гайки. Однако решение такой задачи в точной постановке связано с трудно преодолимыми математическими и техническими трудностями. Обычно при решении в условия взаимодействия (контакта) деталей и их форму вводят ряд упрощений и выполняют расчет распределения нагрузки (сил) между витками соединения, который используют для интегральной оценки местной напряженности и конструктивной целесообразности соединений.

Рассмотрим резьбовое соединение (рис. 1) при заданной внешней силе F, полагая для упрощения, что витки резьбы благодаря малому углу подъема имеют кольцевую форму и силы трения в контактах пренебрежимо малы. Требуется определить силы (контактные напряжения), действующие на витки резьбы.

Соединение типа болт-гайка
Рис. 1 Соединение типа болт—гайка

Уравнение равновесия.

Уравнение равновесия. В некоторой точке оси болта, например в точке О пересечения оси с неконтактирующей плоскостью гайки, поместим глобальную систему координат rOz. Тогда уравнение равновесия одной из деталей, например болта, примет вид

F=sum{i=1}{n}{int{A_k}{}{p_i d A_K}},

где i=1, 2, ..., n — номер контактирующего витка, считая от опорного торца гайки;
pi — контактное напряжение в точке рабочей поверхности i-го витка;
Ак — площадь контакта рабочей поверхности витка, принимаемая одинаковой для всех витков.

В такой постановке задача многократно статически неопределима, так как в одно уравнение равновесия входят неизвестные напряжения в каждой точке контакта. Решение задачи можно существенно упростить, если принять, что напряжения вдоль рабочей грани витка постоянны и сила, действующая на i-й виток,

F_i=p_i pi d_2 H_1,

где d2 и Н1 — средний диаметр и рабочая высота витка резьбы.

При этом уравнение равновесия содержит лишь n неизвестных сил (n — число рабочих витков резьбы):

F=sum{i=1}{n}{F_i}.

Для раскрытия статической неопределимости следует записать уравнение совместности перемещений элементов соединения.

Уравнение совместности перемещений.

Уравнение совместности перемещений. Рассмотрим взаимодействие (контакт) витка болта и гайки (рис. 2, а) Допустим, что некоторые две точки С1 и С2, принадлежащие соответственно болту и гайке, являются сопряженными, т. е. входят в контакт при нагружении. Их начальное (до нагружения) положение на витках характеризуется векторами R=ОС1 и R2=ОС2, а «зазор» между сопряженными точками С1 и С3 характеризует вектор

xi=C_2 C_1=R_1-R_2.

Схемы контакта витков резьбы
Рис. 2 Схемы контакта витков резьбы

Примечание. По техническим причинам знак * изображенный на рисунки, в тексте и формулах обозначается знаком

Предположим, что в результате деформаций болта и гайки под действием внешней силы F точки С1 и С2, получив перемещения δ1′ и δ2′ в «тело» витка соответствующей детали, войдут в контакт в точке С (рис. 2, б). Обозначая через R1′ и R2′ векторы точек C1 и C2 в деформированном положении, можем записать

R_{1 prime}=R_1+delta_{1 prime};~~~R_{2 prime}=R_2+delta_{2 prime}.

Учитывая, что сопряженные точки войдут в контакт при условии

R_{1 prime}=R_{2 prime},

из равенств находим
R_1+delta_{1 prime}=R_2+delta_{2 prime},

откуда
xi=delta_{2 prime}-delta_{1 prime}.

Формула представляет собой уравнение совместности перемещений контактирующих витков резьбы в глобальной системе координат. Если витки резьбы изготовлены идеально точно, то их рабочие поверхности соприкасаются и в ненагруженном состоянии (рис. 2, в). Вектор-зазор ξ направлен при этом вдоль рабочих граней витков, но его абсолютное значение заранее неизвестно и может быть определено в результате решения задачи.

Учитывая, однако, что в описанном расчетном случае проекция вектора-зазора за нормаль к рабочей грани ξn=0, уравнение совместности перемещений можно переписать в виде

{delta_{2 prime}}^n-{delta_{1 prime}}^n=0.

Отсюда следует, что в идеально точной резьбе сопряженные точки имеют одинаковые нормальные перемещения.

Уравнения и являются общими для точного и приближенного решений любой контактной задачи. При совместном решении этих уравнений необходимо принять зависимость перемещений точек детали от действующих на нее сил. Такие зависимости обычно записываются относительно осей координат, жестко связанных с деталями и называемых местными или локальными осями координат.

Свяжем е болтом и гайкой оси координат r1O1z1 и r2O2z2 соответственно. Тогда (см. рис. 2, а)

R_1=OO_1+r_1;~~~R_2=OO_2+r_2,

где ОО1 и ОО2 — векторы, показывающие положение местных осей координат в глобальной системе координат rOz;
r1, r2 — векторы, характеризующие положение сопряженных точек С1 и С2 в местных системах координат.

При действии внешней силы F болт и гайка деформируются, сопряженные точки входят в контакт в некоторой точке С, а начало O1 и О2 местных осей координат вместе с соответствующими точками болта и гайки перемещаются вдоль оси Оz (благодаря осевой симметрии) в положения О1′ и О2′ соответственно. Векторы сопряженных точек в деформированном состоянии (см. рис. 2, б)

R_{1 prime}=OO_{1 prime}+r_{1 prime};~~~R_{2 prime}=OO_{2 prime}+r_{2 prime}.

Из уравнений

R_{1 prime}-R_1=OO_{1 prime}-OO_1+r_{1 prime}-r_1;

R_{2 prime}-R_2=OO_{2 prime}-OO_2+r_{2 prime}-r_2;

Перемещения O1O2′=OO1′-ОО11 и O2O2′=OO2′-OO22 называют кинематическими, так как они выражают перемещения в глобальной системе координат деталей как жестких тел.

Обозначим векторы перемещений сопряженных точек болта и гайки в местных осях координат через δ1 и δ2:

delta_1=r_{1 prime}-r_1;~~~delta_2=r_{2 prime}-r_2.

Учитывая равенства и принятые обозначения, из соотношений находим

xi+omega_1-omega_2=delta_1-delta_1.

Уравнение также представляет собой условие совместности перемещений сопряженных точек деталей. Но в отличие от уравнения перемещения δ1 и δ2 точек деталей определяются в местных осях координат.

Сопоставляя уравнения, получаем

delta_{1 prime}=omega_1+delta_1;~~~delta_{2 prime}=omega_2+delta_2.

Уравнения устанавливают связь между смещениями точек в глобальной и местной системах координат.

Для соединения с идеально точной резьбой ξn=0 и

{delta_2}^n-{delta_1}^n=omega^n,

где ωn1n2n вектор взаимного смещения местных осей координат относительно глобальных осей координат, одинаковый для всех точек болта и гайки.

Связь между нагрузками и перемещениями точек детали. Приведенные выше уравнения совместности перемещений и равновесия одинаковы для точного и приближенного решений. Достигаемая же в результате расчета точность решения задачи определяется, как правило, классом расчетной модели детали, т. е. принятыми в расчете зависимостями перемещений точек модели от действующих на нее сил.






Навигация
Болты
Винты, шпильки, штифты, прокладки
Пружины
Заклепки
Шпонки
Гайки
Резьба
Валы
Муфты
Подшипники
Виды соединений
Передачи
Материал
Дополнительные материалы
Госты метизов
Сварка
Мы в соцсетях
podshipniki.moscow применяемость подшипников
Сортовой металлопрокат: str-steel.ru в Москве с доставкой.