Распределение нагрузки в резьбовых соединениях оболочек

В конструкциях машин распространены соединения тонкостенных деталей с помощью резьбы (соединения труб, головки и блока цилиндра поршневого двигателя и др.). В этом случае при расчете распределения нагрузки между витками резьбы соединяемые детали схематизируют в форме оболочек.

Рассмотрим приближенное решение задачи о распределении нагрузки по виткам резьбового соединения тонкостенных труб (рис. 1) на основе теории оболочек.

резьбового соединения тонкостенных труб
Рис. 1 — Резьбовое соединение оболочек и профиль его резьбы

Условие совместности деформаций имеет обычный вид, т. е.

Delta_1 (z) - Delta_2 (z) = delim{[}{delta_1 (z) + Delta_2 (z)}{]} - delim{[}{delta_1 (0) + Delta_2 (0)}{]}

где Δ1 и Δ2 — перемещения в сечении z точек внутренней оболочки от растяжения и наружной оболочки от сжатия; δ1(z) и δ1(0) — перемещение точки контакта витков резьбы внутренней оболочки в осевом направлении (в сечении z и z = 0); δ2(z) и δ2(0) — то же для витков наружной оболочки.

Как и прежде, предполагаем, что нагрузка на боковую грань витка распределена равномерно.

Силы и момент в основании витка, отнесенные к единице длины окружности радиусом r1,

Q_B = 1/r_1 int{r - h_p}{r}{prdr} = p (r - 0,5 h_p)/r_1 h_p ;

N_B = Q_B~tg gamma ;

M_B = {p (r - 0,5 h_p) h_p delim{[}{h_B - 0,5 h_p - (e + 0,5 h_p tg gamma) tg gamma}{]}}/r_1

При выводе последнего равенства предполагаем, что равнодействующая сил давления приложена в середине зоны контакта и что на боковой поверхности радиусом r1 действуют распределенные нагрузки и момент:

q_z = Q_B/P = chi_z p ;~ q_n = N_B/P = chi_n p ;~ m = M_B/P = chi_m p h_B ,

где χz, χn, χm - безразмерные коэффициенты:

chi_z = (r - 0,5 h_p)/{r_1 P} h_p;~ chi_n = chi_z tg gamma;

chi_m = {(r - 0,5 h_p) h_p delim{[}{h_B - 0,5 h_p - (e + 0,5 h_p tg gamma) tg gamma}{]}}/{P r_1 h_B}

Осевая сила, отнесенная к единице длины соединения,

q = 2 pi r q_z = p f/P ,

где f = 2 π (r - 0,5 hp) hp — площадь проекции контактной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси.

Рассмотрим вначале прогиб витков внутренней оболочки:

delta_1 (z) = delta_11 (z) + delta_12 (z) + delta_13 (z) .

Величина δ11 соответствует прогибу витка (точки А на рис. 1) относительно основания (точки О1).

Учитывая плоское деформированное состояние, можно записать

delta_11 (z) = Omega {1 - {nu_1}^2}/E_1 P_p (z) ,

где E1 и ν1 — модуль упругости и коэффициент Пуассона; Ω — безразмерный коэффициент.

Величина δ12 (z) выражает прогиб в результате поворота основания витка:

delta_12 (z) = (h_B - 0,5 h_p) {d omega_1}/{dz} ,

где ω1 — прогиб оболочки в сечении z (положительное направление прогиба — вдоль радиуса от центра).

Составляющая δ13 (z) учитывает увеличение зазора между витками в результате прогиба оболочки:

delta_13 = - omega_1 tg gamma .

При определении прогибов оболочки учитываем влияние только основного силового фактора — нормального давления.

Тогда в соответствии с (рис. 2)

Определение прогибов оболочки
Рис. 2 — Схема к определению прогибов и углов поворота оболочки от распределенных нагрузок

omega_1 (z) = int{0}{L}{K_{n1} (z, xi) q_n (xi) d xi} = chi_n int{0}{L}{K_{n1} (z, xi) p (xi) d xi} ,

где Kn1(z, ξ) — прогиб внутренней оболочки в сечении z, обусловленный действием единичной нормальной силы в сечении ξ.

При вычислении углов поворота дополнительно учитываем влияние распределенных моментов:

{d omega_1 (z)}/{d z} = int{0}{L}{delim{[}{{partial K_{n1}}/{partial z} (z, xi) chi_n + {partial {K prime}_{m1}}/{partial z} (z, xi) chi_m h_B}{]} p (xi) d xi} ,

где K′m1(z, ξ) — угол поворота в сечении z от единичного момента в сечении ξ.

Суммируя все составляющие в равенстве, находим

delta_1 (z) = Omega {1 - {nu_1}^2}/E_1 P_p (z) + int{0}{L}{G_1 (z, xi) p (xi) d xi} ,

где

G_1 (z, xi) = - K_{n1} (z, xi) chi_{n1} tg gamma + (h_B - 0,5 h_p) *

* delim{[}{{K prime}_{n1} (z, xi) chi_{n1} + {K prime}_{m1} (z, xi)  chi_{m1} h_B}{]}.

Приближенно можно считать коэффициенты χz, χn и χm одинаковыми для обеих оболочек, полагая r1 равным среднему радиусу резьбы.

Напрвление силовых факторов показано на (рис. 3). Отметим, что моменты m1 и m2 направлены одинаково.

Схемы нагружения при контакте оболочек
Рис. 3 — Схемы нагружения при контакте оболочек

Увеличение зазора в резьбе в результате прогиба наружной оболочки

delta_23 = omega_2 tg gamma .

Суммарный прогиб витков представим в таком виде:

delta_1 (z) + delta_2 (z) = ({1 - {nu_1}^2}/E_1 Omega + {1 - {nu_2}^2}/E_2 Omega) P_p (z) +

+ int{0}{L}{G (z, xi) p (xi) d xi} ,

где

G (z, xi) = G_1 (z, xi) + G_2 (z, xi) .

Удлинение внутренней оболочки находим по формуле

Delta_1 (z) = int{0}{L}{1/E_1 delim{[}{sigma_{z1} (xi) - nu_1 sigma_{theta 1} (xi)}{]} d xi} ,

где σz1 и σθ1 - осевое и окружное напряжения в срединной поверхности оболочки

sigma_{z1} = 1/{2 pi r_10 h_1} int{0}{z}{2 pi r_1 q_{z1} (xi) d xi} approx 1/h_1 int{0}{z}{q_{z1} (xi) d xi} ,

где r10 и h1 - срединный радиус и толщина оболочки.

Окружное напряжение

sigma_(theta 1) (z) = E_1 {omega_1 (z)}/r_10 + nu_1 sigma_{z1} (z).

С учетом последних соотношений

Delta_1 (z) = int{0}{z}{{1 - {nu_1}^2}/{E_1 h_1}} int{0}{xi}{q_{z1} (xi_1) d xi_1 d xi} - nu_1/r_10 int{0}{z}{omega_1 (xi) d xi} .

Для наружной оболочки подобным образом находим

Delta_2 (z) = int{0}{z}{{1 - {nu_2}^2}/{E_2 h_2}} int{0}{xi}{q_{z1} (xi_1) d xi_1 d xi} - nu_2/r_20 int{0}{z}{omega_2 (xi) d xi} .

Интегральное уравнение относительно неизвестного давления боковой поверхности витков:

p (z) = B/A int{0}{z}{~} int{0}{xi}{p (xi) d xi_1 d xi} - 1/A int{0}{L}{G (z, xi) p (xi) d xi} -

- 1/A int{0}{L}{~} int{0}{z}{H (z, xi) p (xi_1) d xi_1 d xi} + C ,

где постоянные

A = Omega P ({1 - {nu_1}^2}/E_1 + {1 - {nu_2}^2}/E_2) ;

B = {1 - {nu_1}^2}/{E_1 h_1} chi_{z1} + {1 - {nu_2}^2}/{E_2 h_2} chi_{z2} ;

C = p (o) + int{0}{L}{G (0, xi) p (xi) d xi} .

Проинтегрировав уравнения в пределах от 0 до L, определив из полученного равенства величину С и внеся ее в уравнение, получаем интегральное уравнение в окончательной форме

p = K (p)  p_{cp} ,

где интегральный оператор

K (p) = B/A delim{[}{int{0}{z}{~} int{0}{xi}{p (xi_1) d xi_1 d xi} - 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{~} int{0}{xi}{p (xi_1) d xi_1 d xi}}{]} -

- 1/A delim{[}{int{0}{L}{G(z, xi) p (xi) d xi} - 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{G(z, xi) p (xi) d xi d z}}{]} -

- 1/A delim{[}{int{0}{L}{~} int{0}{z}{H (z, xi_1) p (xi_1) d xi_1 d xi} -}{}

delim{}{- 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{~} int{0}{xi}{H (z, xi_1) p (xi_1) d xi_1 d xi d z}}{]}

и среднее давление

p_{cp} = {F P}/{f L} = {F P}/{2 pi (r - 0,5 h_p) h_p L} .






Навигация
Болты
Винты, шпильки, штифты, прокладки
Пружины
Заклепки
Шпонки
Гайки
Резьба
Валы
Муфты
Подшипники
Виды соединений
Передачи
Материал
Дополнительные материалы
Госты метизов
Сварка
Мы в соцсетях
podshipniki.moscow применяемость подшипников
Сортовой металлопрокат: str-steel.ru в Москве с доставкой.