Уравнение совместности перемещений.

Инженерный расчет распределения нагрузки между витками резьбы, часть 2

Уравнение совместности перемещений. Используя модель Н. Е. Жуковского, заменим резьбовое соединение типа болт-гайка идеализированной конструкцией (рис. 1).

Резьбовое соединение типа болт-гайка идеализированной конструкцией
Рис. 1 Расчетная модель соединения по Н. Е. Жуковскому:
а — до деформации; б — после деформации

Считаем, что под действием нагрузки F тело болта на участке АВ размером z удлиняется на Δ1(z), а тело гайки на участке CD укорачивается на Δ2(z). При этом витки резьбы подвергаются деформации изгиба и сдвига. Обозначим осевое смещение средней точки профиля витка болта относительно своего основания δ1(z), а витка гайки δ2(z).

Принимая, что витки резьбы изготовлены идеально точно, запишем уравнение совместности перемещений (см. рис. 1). Для этого достаточно определить расстояние между точками контакта витков в сечениях z=0 и z, сопоставляя деформации в болте и гайке:

Delta_1(z)+Delta_2(z)=delim{[}{delta_1(z)+delta_2(z)}{]}-delim{[}{delta_1(0)+delta_2(0)}{]}.~~~(1)

Уравнение (1) имеет ясный физический смысл: алгебраическая разность осевых деформаций тел болта и гайки компенсируется разностью прогибов витков, обусловливающей неравномерное распределение нагрузки между витками резьбы. При абсолютно жестких стержне болта и теле гайки нагрузка по виткам распределяется равномерно.

Заметим, что для метрической резьбы расчетная схема усложнена поперечными деформациями стержня болта и тела гайки. Эти деформации приводят к образованию зазора между витками, который также компенсирует разность осевых деформаций.

Уравнение (1), полученное из дискретной схемы соединения (см. рис. 1), остается справедливым и при схеме с непрерывно идущими витками, которая используется в дальнейшем.

Для вывода закона распределения нагрузки по виткам резьбы выразим условие (1) через силовые факторы.

Предположим, что в произвольном поперечном сечении тела болта действует напряжение σ1 (рис. 2), значение которого изменяется по координате z. В теле гайки возникают напряжения сжатия σ2. Принимая, что напряжения σ1 и σ2 распределены по поперечному сечению равномерно, можно записать

Delta_1(z)=int{0}{z}{{sigma_1(z)}/E_1}dz;~~~Delta_2(z)=-int{0}{z}{{sigma_2(z)}/E_2}dz,~~~(2)

где Е1 и Е2 — модули упругости материала болта и гайки.

Напряжений в соединении типа болт—гайка
Рис. 2 Схема действия напряжений в соединении типа болт—гайка

На боковой поверхности витка действует давление р, распределенное (вообще говоря) по неизвестному закону (рис. 3). К поверхности стержня болта приложены нормальные σ и касательные τ напряжения.

Эпюры напряжений на рабочей поверхности и в основании витка резьбы
Рис. 3 Эпюры напряжений на рабочей поверхности и в основании витка резьбы

Действие напряжений σ, вызывающих общее сжатие боковой поверхности тела болта и некоторую волнистость поверхности из-за поворота основания витков, которой можно пренебречь, эквивалентно действию на поверхности стержня болта некоторого среднего напряжения

sigma_{cp}=1/P int{0}{P}{sigma(z)dz},~~~~~~(3)

вызывающего сжатие тела болта в поперечном направлении.

При точном решении задачи уравнение (1) должно быть справедливо для любой точки боковой поверхности витка и соответствующих точек боковой поверхности тела болта и гайки.

В приближенном решении ограничимся требованием, чтобы уравнение (1) было справедливо для точки М — середины боковой поверхности профиля (см. рис. 3) и точки О — середины основания витка.

В связи с этим под δ1(z) в уравнении (1) следует понимать сумму вертикальной составляющей перемещения точки М относительно точки О в результате деформаций изгиба и сдвига витка, а также образования зазора в вертикальном (осевом) направлении вследствие поперечного перемещения основания витка.

Если предположить, что давление постоянно вдоль рабочей грани и каждый виток деформируется изолированно от других, а деформация болта и гайки в поперечном направлении зависит лишь от напряжения σср, соответствующего данному сечению, то величины δi(z) (i=1, 2, ... — номер детали) при сделанных допущениях можно выразить формулой

delta_i={p(z)P}/E_i Delta_i,~~~(4)

где Δi — безразмерные коэффициенты, зависящие от геометрических параметров резьбы и всего соединения.

Для метрической резьбы эти коэффициенты можно вычислить по формулам:

Delta_1=Omega+{d_1H_1(1-upsilon_1)}/{2P^2}tg^2 alpha/2;~~~(5)

Delta_2=Omega+{dH_1}/{2P^2}(upsilon_2+{{D_э}^2+d^2}/{{D_э}^2-d^2})tg^2 alpha/2.~~~(6)

Если болт имеет центральное отверстие диаметром d0, то

Delta_10=Omega+{d_1H_1}/{2P^2}({{d_1}^2+{d_0}^2}/{{d_1}^2-{d_0}^2}-upsilon_1)tg^2 alpha/2,~~~(7)

где Ω — безразмерный коэффициент, учитывающий влияние деформаций изгиба и сдвига на податливость витков (для метрической и дюймовой резьбы Ω≈1);
Dэ — диаметр круглой гайки (размер под ключ);
ν1 и ν2 — коэффициенты Пуассона для материалов болта и гайки.

Несложно заметить, что первые слагаемые в соотношениях (5)—(7) учитывают смещения точки витка относительно середины его основания в результате изгиба и сдвига витка, вторые — то же в результате радиальной деформации болта и гайки как толстостенных труб.

С учетом формул (2) и (4) основные уравнение (1) можно записать в виде

int{0}{z}{{sigma_1(z)}/E_1}dz+int{0}{z}{{sigma_2(z)}/E_2}dz=

{=}delim{[}{p(z)-p(0)}{]}(Delta_1/E_1+Delta_2/E_2)P.~~~(8)

Это уравнение можно значительно упростить, если ввести в рассмотрение величину интенсивности распределенной осевой нагрузки по высоте резьбы

q(z)={dF(z)}/{dz},~~~(9)

где F(z) — сила, растягивающая стержень болта или сжимающая тело гайки в сечении z:
F(z)=int{0}{z}{q(z)dz}.~~~(10)

Таким образом, величина q(z) — это сила, приходящаяся на единицу длины соединения (рис. 4). По физическому смыслу силы q(z) заменяют касательные напряжения τ (см. рис. 3), уравновешивающие в совокупности силу F:

F=int{0}{H}{q(z)}dz.~~~(11)

Схема распределения осевых сил в резьбовом соединении
Рис. 4 Схема распределения осевых сил в соединении

Заметим, что величина q(z) характеризует распределение нагрузки по виткам резьбы. Нагрузку на виток, расположенный между сечениями z и z+Р, можно вычислить по формуле

F_i=int{z}{z+P}{q(z)}dz.~~~(12)

Если нагрузка между витками распределена равномерно, то

q(z)=const.

Между давлением на боковой поверхности витка р(z) и нагрузкой q(z) существует связь:

p(z)=q(z)P/f,~~~(13)

где f=πd2Н1 — проекция боковой поверхности витка на плоскость, перпендикулярную оси z (d2 — средний диаметр резьбы; Н1 — высота профиля резьбы).

Напряжения в теле болта и теле гайки

sigma_1(z)={F(z)}/A_1;~~~sigma_2(z)={F(z)}/A_2,~~~(14)

где А1 и А2 — площадь поперечных сечений соответственно болта и гайки.

С учетом этих формул уравнение (8) можно записать в виде

(1/{E_1A_1}+1/{E_2A_2})int{0}{z}{F(z)}dz=

{=}delim{[}{q(z)-q(0)}{]}(Delta_1/E1+Delta_2/E_2)p^2/f.~~~(15)

Обозначая
beta=1/{E_1A_1}+1/{E_2A_2};~~~gamma=P^2/f(Delta_1/E1+Delta_2/E_2),~~~(16)

получаем
beta int{0}{z}{F(z)}dz=gamma delim{[}{q(z)-q(0)}{]}.~~~(17)

Дифференцируя дважды по z уравнение (17), находим

q prime prime (z)-m^2q(z)=0,~~~(18)

где
m=sqrt{beta/gamma}=theta/P;~~~theta=sqrt{{1/{E_1A_1}+1/{E_2A_2}}/{Delta_1/E_1+Delta_2/E_2}}f.~~~(19)

Зависимость безразмерного коэффициента θ от отношения d/P приведена на (рис. 5). Приближенное значение θ при Е1=E2 — можно вычислить по формуле

theta=sqrt{3.7P/d(1+1.2P/d)/(1.86+0.35d/P)}.

График
Рис. 5 Зависимость коэффициента θ от отношения d/P при Е1=E2:
1 — ε=d/Dэ; 2 — ε=0,66

Уравнение (18) представляет собой условие совместности деформаций, выраженное через интенсивность распределения осевых сил. При учете коэффициента Пуассона это уравнение содержит также производную первого порядка.

Уравнение (18) остается справедливым и для резьбовых соединений других типов, а также для резьбового соединения с произвольным профилем резьбы как геометрическое условие неразрывности (совместности) деформаций.

При нелинейной зависимости податливости витков от давления

delta_1(z)+delta_2(z)=p(z)(Delta_1/E_1+Delta_2/E_2)P+kp^m(z)

уравнение (18) является нелинейным. С такими зависимостями приходится сталкиваться при учете контактных деформаций микронеровностей поверхности или в специальных резьбах, для уменьшения трения в которых контакт осуществляется при помощи тел качения.






Навигация
Болты
Винты, шпильки, штифты, прокладки
Пружины
Заклепки
Шпонки
Гайки
Резьба
Валы
Муфты
Подшипники
Виды соединений
Передачи
Материал
Дополнительные материалы
Госты метизов
Сварка
Мы в соцсетях
podshipniki.moscow применяемость подшипников
Сортовой металлопрокат: str-steel.ru в Москве с доставкой.