Уточненный расчет резьбовых соединений

Общие замечания. Применение простейших моделей формы деталей (стержней, оболочек и др.) позволяет получать замкнутые решения, облегчающие общий анализ работы соединений. Однако при этом не удается полностью учесть реальной формы и условий нагружения деталей, сложного напряженного состояния и характера сопряжения частей деталей (например, резьбы и тела болта и т. п.).

В последние годы при расчетах элементов конструкций широко применяют различные численные методы, основанные на замене непрерывной модели тела ее дискретным аналогом с конечным числом неизвестных.

Для расчета деталь покрывают специальной сеткой (разбивают на элементы), аппроксимирующей контур и тело (рис. 1). Точки пересечения линий сетки называют узлами.

Распределения напряжений в резьбовом соединении
Рис. 1 — Сеточная разметка и схема распределения напряжений в резьбовом соединении

Зависимость смещений узлов сетки от действующих сил имеет вид

K_u = f,

где K — матрица жесткости; u и f — векторы-столбцы узловых перемещений и сил (внешних и контактных):

u = delim{lbrace}{matrix{4}{1}{u_1 u_2 vdots u_n}} {rbrace};~ f = delim{lbrace}{matrix{4}{1}{F_1 F_2 vdots F_m}} {rbrace};

здесь n и m — соответственно общее число узлов в модели и число узлов, в которых заданы внешние силы.

Из уравнения Ku= f следует, что перемещения узлов детали

u = K^-1 f,

где K-1 = λ — обращенная матрица жесткости (матрица податливости).

Уравнение u = K-1f равносильно системе линейных алгебраических уравнений, выражающих зависимость перемещений узлов модели от действующих сил. Каждое уравнение системы имеет вид

u_l = sum{k=1}{m}{lambda_{l k} F_k} = lambda_{l 1} F_1 + lambda_{l 2} F_2 + ... + lambda_{l m} F_m

где λl1, λl2, ... , λlm, — коэффициенты матрицы податливости (функции влияния), которые показывают перемещение узла от единичных сил, приложенных соответственно в узлах 1, 2, m.

Таким образом, зависимость учитывает влияние всех сил на перемещение узла.

Наиболее просто матрица жесткости К и, как следствие, матица податливости λ формируются в методе конечных элементов. Благодаря этому метод конечных элементов (МКЭ) наиболее широко применяется в инженерных расчетах деталей машин и элементов конструкций.

Матрица жесткости конечно-элементной модели

K = delim{[}{matrix{4}{4}{K_{11} K_{12} cdots K_{1n} K_{21} K_{22} cdots K_{2n} cdots cdots cdots cdots K_{n1} K_{n2} cdots K_{nn}}} {]}

зависит от параметров упругости материалов деталей, их формы и характера кодировки (сеточной разметки).

Некоторый элемент Kjk входящий в эту матрицу, определяет реакцию в узле j от единичного перемещения узла k при неподвижных других узлах. Он имеет блочную структуру, аналогичную структуре вектора смещений.

После определения перемещений узлов от заданных сил по уравнению u = K-1f находят деформации и напряжения в каждом узле модели. Соотношения связи между деформациями и перемещениями в осесимметричной модели имеют вид

varepsilon_z = {partial omega}/{partial z};~ varepsilon_r = {partial u}/{partial r};~ varepsilon_theta = u/r;~ gamma_{r z } = {partial omega}/{partial z} + {partial u}/{partial r},

где ω и u — перемещения узла в направлении осей z и r соответственно.

Напряжения в элементах в соответствии с законом Гука

sigma = D varepsilon ,

где матрица упругости

D = {E - (1 - nu)}/{(1 + nu) + (1 - 2 nu)} delim{[}{matrix{4}{4}{1 nu/{1 - nu} nu/{1 - nu} 0 nu/{1 - nu} 1 nu/{1 - nu} 0 nu/{1 - nu} nu/{1 - nu} 1 0 0 0 0 {1 - 2 nu}/{2 (1 - nu)}}}{]},

а компоненты векторов напряжений и деформаций (индекс «т» свидетельствует об операции транспонирования)

sigma^T = delim{lbrace}{sigma_z sigma_r sigma_theta tau_{r z}}{rbrace};~ varepsilon^T = delim{lbrace}{varepsilon_z varepsilon_r varepsilon_theta gamma_{r z}}{rbrace}.

Расчет соединений методом конечных элементов. Неизвестную функцию распределения контактных напряжений заменяют «ступенчатой» функцией с постоянными напряжениями в каждой ступени (рис. 2). В этом случае узловая сила в осесимметричной модели

F_{k i} = q_i 2 pi r_i t_i ,

где qi — контактное напряжение в i-м узле; ri — радиус узла; ti — ширина ступени.

Расчет соединений методом конечных элементов
Рис. 2 — Схема аппроксимации непрерывной функции

В сопряженных контактирующих узлах i и i' силы равны, т. е.

F_{k i} = {F prime}_{k i} .

Осевая составляющая суммы узловых сил равна внешней силе на болт. Следовательно,

F = sum{i=1}{m}{F_{k i}~ cos {alpha/2}} ,

где α — угол профиля резьбы.

Коэффициенты матрицы податливости λ можно находить обращением матрицы жесткости K. В практических расчетах эти коэффициенты определяют считая единичную нормальную силу приложенной последовательно в каждом контактирующем узле. Коэффициент податливости λnii-го узла находят по осевому ωi и радиальному ui перемещению этого узла от единичной нормальной силы, приложенной в этом же узле:

{lambda^n}_ii = omega cos alpha/2 + u_i sin alpha/2 .

Аналогично вычисляют коэффициент податливости λij в этом узле от единичной силы, приложенной в узле j (функция влияния).

Нормальное перемещение узла i от контактных сил на всех витках резьбы

{delta_i}^n = sum{i=1}{m}{{lambda^n}_{i j} F_{k j}} .

Для получения единственного решения при вычислении функций влияния необходимо закрепить деталь, например, в начале местной системы координат. Деталь можно закреплять в узлах, к которым приложена внешняя сила F. В этом случае отпадает необходимость определения функций влияния внешней силы на перемещения контактирующих точек.

Если в результате расчета окажется, что фактические площадки контакта меньше рабочих поверхностей витков, то размеры площадок контакта можно определить по методу последовательных приближений из обычных для контактных задач условий: равенства нулю контактных давлений вне зоны контакта.

После решения контактной задачи и определения сил в узлах витков находят перемещения, затем вычисляют деформации и напряжения в узлах модели при заданных силах (внешней и контактных).

Контактные напряжения (давления) в узлах витков резьбы вычисляют по формуле

q_i = 0,5 F_{k i}/(pi r_i t_i) .






Навигация
Болты
Винты, шпильки, штифты, прокладки
Пружины
Заклепки
Шпонки
Гайки
Резьба
Валы
Муфты
Подшипники
Виды соединений
Передачи
Материал
Дополнительные материалы
Госты метизов
Сварка
Мы в соцсетях
podshipniki.moscow применяемость подшипников
Сортовой металлопрокат: str-steel.ru в Москве с доставкой.