Уравнения упругопластического деформирования.

При сварке в каждой точке детали возникают в общем случае 6 компонент напряжения, 6 компонент деформации и 3 компоненты перемещения. На рис. 1 показано расположение координатных осей: x1 — вдоль шва, х2— поперек шва в плоскости свариваемых пластин и х3 — в направлении толщины пластины. Соответствующие компоненты деформации и напряжений обозначим εij, σij, а перемещений — ui. Индексы i, j могут принимать значения от 1 до 3. Нормальные компоненты деформации и напряжений имеют оба индекса одинаковые: ε11, ε22, ε33 — нормальные деформации вдоль осей x1, x2, x3, σ11, σ22, σ33 — нормальные напряжения вдоль тех же осей координат. Деформации сдвига и касательные напряжения имеют разные индексы: ε12, ε23, ε31, σ12, σ23, σ31. Для каждой компоненты деформации можно выделить наблюдаемые, собственные и свободные температурные деформации. При этом для изотропного материала, имеющего одинаковые свойства по всем направлениям:

varepsilon_{a11} = varepsilon_{a22} = varepsilon_{a33} = varepsilon_a~~~~(1)

varepsilon_{a12} = varepsilon_{a23} = varepsilon_{a31} = 0

Наблюдаемые деформации связаны с перемещениями точек тела

varepsilon_{ij} = 1/2 ({delta u_i} / {delta x_i} + {delta u_i} / {delta x_i})~~~~(2)

Расположение координатных осей
Рис. 1. Расположение координатных осей

Собственные деформации связаны с напряжениями. Упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука. Закон Гука записывается отдельно для деформаций изменения объема и деформаций изменения формы, так как модули упругости при изменении объема и формы тела различны. Изменение объема выражается через средние нормальные деформации εo. Средние деформации связаны со средними напряжениями σo через объемный модуль упругости К:

varepsilon_o = sigma_o / K~~~~(3)

где

varepsilon_o = {(varepsilon_{у п р 11} + varepsilon_{у п р 22} + varepsilon_{у п р 33})} / 3 ; sigma_o = {(sigma_11 + sigma_22 + sigma_33)} / 3~~~~(4)

Часть деформации, не вызывающая изменения объема, называется деформацией изменения формы, или девиатором деформации. Компоненты девиатора деформации eij и девиатора напряжения Sij определяются по формулам:

e_{у п р ij} = varepsilon_{у п р ij} - delta_ij varepsilon_o~~~~(5)

S_ij = sigma_ij - delta_ij sigma_o

где δij — коэффициент, равный 1 для нормальных компонент (при i = j) и равный 0 для компонент сдвига (при i ≠ j). Компоненты девиатора упругой деформации eупр ij связаны с соответствующими компонентами девиатора напряжения Sij через модуль сдвига G:

e_{у п р ij} = S_{ij} / (2G)~~~~(6)

Пластические деформации происходят без изменения объема, только за счет изменения формы:

e_{п л ij} = varepsilon_{п л ij}~~~~(7)

Уравнение связи компонент пластической деформации с компонентами девиатора напряжений

{delta e_{п л ij}} / {delta t} = S_ij lambda~~~~(8)

Способ определения коэффициента λ в формуле (8) зависит от принятой модели пластической деформации. Чаще всего принимается модель идеального упругопластического материала без упрочнения.

В этом случае

lambda = (3/{2 sigma_i})({delta varepsilon_{п л i}} / {delta t})~~~~(9)

где

sigma_i = sqrt{3/2 ({S_11}^2 + {S_22}^2 + {S_33}^2 + 2{S_12}^2 + 2{S_23}^2 + 2{S_31}^2)}~~~~(10)

varepsilon_{п л i} = sqrt{2/3 ({e_{п л 11}}^2 + {e_{п л 22}}^2 + {e_{п л 33}}^2 + 2{e_{п л 12}}^2 + 2{e_{п л 23}}^2 + 2{e_{п л 31}}^2)}~~~~(11)

Так как у идеального упругопластического материала в пластической области σi не зависит от δпл i, то пластические деформации целиком определяются деформациями окружающей упругой зоны и условиями закрепления детали. По известным компонентам деформации можно определить компоненты напряжений. Процесс образования напряжений при сварке, как правило, нельзя считать простым нагружением, так как соотношения компонент деформации и напряжения в ходе нагружения существенно изменяются. Поэтому для расчета напряжений в упругопластическом теле необходимо весь процесс деформирования разбить на отдельные шаги по времени. Напряжения в конце каждого шага σij зависят от напряжений в начале шага σij' и приращений деформаций за шаг Δεij = εij - εij'. При этом изменение объема происходит по закону Гука.

sigma_o = sigma_o + (Delta vaepsilon_o - Delta varepsilon_a)K~~~~(12)

Девиатор напряжения в конце шага определяется по формуле (6) в случае упругого состояния материала, то есть при интенсивности напряжения, меньшей предела текучести. В случае пластического состояния материала:

S_ij = sigma_i {{S_ij} / {sigma_i} + u_ij delim{lbrace}{sh(Delta v) + omega delim{[}{ch(Delta v) - 1}{]}}{rbrace}} / {ch(Delta v) + omega sh(Delta v)}~~~~(13)

u_ij = Delta varepsilon_ij / sqrt{3/2 (Delta {e_11}^2 + Delta {e_22}^2) + Delta {e_33}^2 + 2Delta {e_12}^2 + 2Delta {e_23}^2 + 2Delta {e_31}^2}~~~~(14)

omega = (3 / {2 sigma_i})({S_11 u_11} + {S_22 u_22} + {S_33 u_33} + 2{S_12 u_12} + 2{S_23 u_23} + 2{S_31 u_31})~~~~(15)

Delta v = (G* / {sigma *_i}) sqrt{6(Delta {e_11}^2 + Delta {e_22}^2 + Delta {e_33}^2 + 2Delta {e_12}^2 + 2Delta {e_23}^2 + 2Delta {e_31}^2)}~~~~(16)

где σij' и σij — интенсивность напряжения в начале и конце шага (для упругопластического материала без упрочнения она равна пределу текучести); G* и σij* — средние значения модуля упругости и интенсивности напряжения за шаг.






Навигация
Болты
Винты, шпильки, штифты, прокладки
Пружины
Заклепки
Шпонки
Гайки
Резьба
Валы
Муфты
Подшипники
Виды соединений
Передачи
Материал
Дополнительные материалы
Госты метизов
Сварка
Мы в соцсетях
podshipniki.moscow применяемость подшипников
Сортовой металлопрокат: str-steel.ru в Москве с доставкой.